CALCULO DE VIGAS EMPOTRADAS

Fuerza Cortante y el Momento Flector, originadas por la geometría general del elemento, las cargas actuantes y los tipos y localización de los apoyos. En las figuras siguientes se muestran ejemplos de resultados de análisis estructural de varias vigas, donde varían las cargas actuantes y los tipos de apoyos. Esta comparación analítica será ilustrativa de los fenómenos que gobiernan la flexión, por lo que se deben leer con atención. Caso 1: Viga simplemente apoyada (Isostática) con carga puntual en el centro de la luz. viga simplemente apoyada carga puntual Las reacciones son idénticas, debido a la posición simétrica de la carga respecto de los apoyos (que además actúan de igual manera, es decir, absorbiendo cargas verticales), recibiendo cada una de ellas la mitad de la carga puntual. Nótese como los diagramas son lineales en ambos casos (FC yMF), esto es debido al tipo de carga (puntual). El diagrama de FC es una función lineal constante, con expresión: V(x) = P/2 = 0,5P hasta la mitad de la luz; de ahí en adelante y debido a la posición y magnitud de la carga P, se produce una discontinuidad de la función de FC, que seguirá siendo constante pero con con signo negativo, según la expresión: V(x) = - P/2 = -0,5P El diagrama de MF, es una función lineal discontinua por tramos, con discontinuidad en x = L/2, donde hay un cambio de signo de la pendiente (de 0,5 a -0,5). La pendiente de la recta será positiva en la mitad izquierda de la viga y negativa en la derecha, con las expresiones: M(x) = Px/2 = 0,5Px (mitad izquierda) M(x) = - Px/2 = - 0,5Px (mitad derecha) En el punto de cambio de signo de la pendiente se produce un máximo valor de la variable MF, que será el mayor en toda la longitud de la viga AB, y tiene el valor: Mmax = PL/4 = 0,25PL Caso 2: Viga con empotramiento y rodillo (Hiperestática de Grado 1) con carga puntual en el centro de la luz. viga con empotramiento y rodillo carga puntual Es notable cómo al cambiar uno de los apoyos (en este caso el empotramiento en B), las reacciones verticales no son iguales entre sí. El empotramiento, por tener mas capacidad de absorción de carga, toma un 68,75% de la carga total (carga puntual en centro de luz), mientras el rodillo sólo toma un 31,25% de la carga total (menos de la mitad de lo que toma el empotramiento). Los diagramas son lineales, tanto para FC como para MF, pero se diferencian del Caso 1, en que las cantidades son diferentes. Analizando la variación de la Fuerza Cortante, es evidente que la función constante en la primera mitad de la viga (mitad izquierda) tiene la expresión: V(x) = 5P/16 = 0,3125P Esta función constante tiene menor valor que la producida en el mismo tramo de la viga en el Caso 1. Al entrar en juego la carga puntual P, la función de la cortante tiene la expresión: V(x) = -11P/16 = -0,6875P El valor absoluto de la FC es mayor en la mitad derecha de la viga, y además será también mayor (en valor absoluto) que la función de FC en su homólogo del Caso 1. Con respecto al diagrama de MF, se puede observar que el empotramiento introduce un momento negativo en el extremo B, que será mayor (en valor absoluto) que el momento en el centro de la luz. Sin embargo, la diferencia entre los dos valores (absolutos) de MF no es muy grande. Al comparar con el mayor valor absoluto de MF en la viga del Caso 1, es evidente que el mayor valor absoluto del Caso 2, es una fracción de este: [MF1] = PL/4 = 0,25PL [MF2] = 3PL/16 = 0,1875PL Donde: [MF1] es el máximo valor absoluto del momento en el Caso1, y [MF2] es el máximo valor absoluto del momento en el Caso2 De manera que: [MF2] = 0,75[MF1] Esto significa que el momento flector máximo absoluto en el Caso 2 es un 25% menor que el momento flector máximo absoluto en el Caso 1. La conclusión inmediata de esta comparación es que: Al tener en ambos extremos el mismo tipo de apoyo, la simetría vuelve a la distribución de las reacciones y a los diagramas de FS Y MB.
Notese cómo las reacciones verticales son idénticas a las del Caso 1. Así mismo, en los empotramiento en A y B, existen sendos momentos reaccionantes de igual magnitud. El diagrama de FC será idéntico al del Caso 1. Por otro lado, el diagrama de MF es algo distinto, pues aunque mantiene la misma forma, es decir, idénticas pendientes para cada tramo, con punto de discontinuidad en x = L/2, el diagrama se ha desplazado sobre el eje de M = 0 (hacia arriba), una distancia igual a la magnitud del momento en los extremos, es decir, PL/8. Si comparamos estos valores con aquellos del Caso 2, es notable que los valores máximos (absolutos) del momento son menores. Aplicando relaciones similares a las del Caso 2, tenemos: [MF2] = 3PL/16 = 0,1875 [MF3] = PL/8 = 0,125PL Donde: [MF2] es el máximo valor absoluto del momento en el Caso2, y [MF3] es el máximo valor absoluto del momento en el Caso 3 De manera que: [ M Esto significa que el momento reflector 
máximo absoluto en el Caso 3 es una tercera parte menor que el momento reflector
máximo absoluto en el Caso 2. La conclusión inmediata de esta comparación es nuevamente: La inclusión de apoyos con mayores restricciones, disminuye en momento máximo de una viga. TABLA 1:COMPARATIVA DE LOS MÁXIMOS VALORES ABSOLUTOS DEPARA LOS CASOS 1, 2 Y 3 Casos [MFN] ] Caso 1 0,25 1
0,5 En la TABLA 1 se presentan los valores máximos absolutos de Momento Flector para cada uno de los casos, y en la columna de la extrema derecha, la relación normalizada de los momentos flectores con respecto al máximo valor absoluto del Caso 1. Queda claro entonces, que los tipos de apoyo juegan un papel importante en la variación del momento flector a lo largo de una viga. Así mismo, la inclusión de apoyos tipo empotramiento reducen considerablemente los máximos valores absolutos de momento flector en una viga. Podemos ver entonces cómo el máximo valor absoluto d en el Caso 2 es un 75% de aquel del Caso 1: [MF2]/[MF1] = 0,75 y el del Caso 3 un 50%: [MF3]/[MF1] = 0,5 Caso 4: Viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida. viga simplemente apoyada carga uniforme En este caso, al igual que en el Caso 1 las reacciones, así como los diagramas de FC y MF presentan simetrías, es decir, las reacciones verticales son idénticas en A y en B (ya que los apoyos reaccionan de igual manera, es decir, absorbiendo cargas verticales), en el diagrama de FC se verifica una simetría central respecto de un punto en el centro de la luz de la viga, y en el una simetría respecto de un eje vertical por el centro de la luz de la viga. Las funciones de FC y MF son, respectivamente, lineal (de primer grado) y cuadrática (de segundo grado). Dichas funciones tienen la forma: Es importante hacer notar que lla luz. Caso 5: Viga con empotramiento y rodillo con carga uniformemente distribuida. viga empotrada y rodillo carga uniforme Las reacciones verticales no serán idénticas puesto que el empotramiento tiene la capacidad de tomar más carga que el rodillo, se verifica entonces como el apoyo en B reacciona tomando 62,5% de la carga total sobre la viga, mientras el apoyo en A toma un 37,5%. Al comparar con las reacciones del Caso 4, es notable como la reacción en B es mayor que la de su homóloga y la reacción en A es menor. Además se debe tener en cuenta que por el empotramiento en se genera una reacción en forma de momento. Vemos nuevamente (similar al Caso 2) cómo la introducción de un (en el extremo de la viga) induce asimetría en los diagramas de FC y MF. Los máximos valores absolutos dese encuentran en el extremo (empotramiento), Caso 6: Viga con carga uniformemente distribuida. Al tener en ambos extremos el mismo tipo de apoyo, la simetría vuelve a la distribución de las reacciones y a los diagramas de FC y MF. Nótese cómo las reacciones verticales son idénticas a las delCaso 4. Así mismo, en los empotramiento en A y B, existen sendos momentos reaccionantes de igual magnitud. El diagrama de FC será idéntico al del Caso 4. Por otro lado, el diagrama de MF es algo distinto, pues aunque mantiene la misma forma, el diagrama se ha desplazado sobre el eje de M = 0 (hacia arriba), una distancia igual a la magnitud del momento en los extremos, es decir, QL/12. Si comparamos estos valores con aquellos de los Casos 4 y 5, es notable que los valores máximos (absolutos) del momento (en esta viga: Caso 6) son menores. Aplicando relaciones similares a las del Caso 5, tenemos: Donde: [MF5] es el máximo valor absoluto del momento en el Caso 5, y [MF6] es el máximo valor absoluto del momento en el Caso 6 De manera que: Esto significa que el momento flector máximo absoluto en el Caso 6 es una tercera parte menor que el momento flector máximo absoluto en el Caso 5. La conclusión inmediata de esta comparación es nuevamente: La inclusión de apoyos con mayores restricciones, disminuye enr máximo de una viga. 1 codificación
1 #include<iostream> using namespace std; int vector[2],m1,m2,m3,masa1,masa2,a1,a2; double N1,N2; int main() { cout<<"welcome\n"; cout<<"coloque el valor de masa1:"; cin>>masa1; cout<<"coloque el valor de aceleracion1:"; cin>>a1; cout<<"coloque el valor de masa2:"; cin>>masa2; cout<<"coloque el valor de aceleracion2:"; cin>>a2; vector[1]=masa1*a1; vector[2]=masa2*a2; cout<<"coloque el valor de Longitud3:"; cin>>m3; cout<<"coloque el valor de Longitud1:"; cin>>m1; cout<<"coloque el valor de Longitud2:"; cin>>m2; N2=(vector[1]*m1+vector[2]*m2)/m3; N1=vector[1]+vector[2]-N2; cout<<"la normal en 2="<<N2<<"N y en el 1"<<N1<<"N \n"; system("pause"); return 0; } 2 # include < iostream> #include<math.h> using namespace std; int vector[2],m1,m2,m3,masa1,masa2,a1,a2; double N1,N2,normal1; float a,b; int main() { cout<<"welcome\n"; cout<<"coloque el valor de masa1:"; cin>>masa1; cout<<"coloque el valor de aceleracion1:"; cin>>a1; cout<<"coloque el valor de masa2:"; cin>>masa2; cout<<"coloque el valor de aceleracion2:"; cin>>a2; vector[0]=masa1*a1; vector[1]=masa2*a2; cout<<"coloque el valor del primer angulo:"; cin>>a; normal1 = vector[0]* cos(a); N1=vector[1]+vector[0]*sin(a); cout<<"la normal en el 1"<<normal1<<"N y en el punto de apoyo1" <<N1<<"N \n"; system ("pause"); return 0; } 3 #include<iostream> #include<math.h> using namespace std; int vector[2],m1,m2,m3,masa1,masa2,a1,a2; double N1,N2,normal1; float a,b; int main() { cout<<"welcome\n"; cout<<"coloque el valor de masa1:"; cin>>masa1; cout<<"coloque el valor de aceleracion1:"; cin>>a1; cout<<"coloque el valor de masa2:"; cin>>masa2; cout<<"coloque el valor de aceleracion2:"; cin>>a2; vector[1]=masa1*a1; vector[2]=masa2*a2; cout<<"coloque el valor del primer angulo:"; cin>>a; cout<<"coloque el valor de Longitud1:"; cin>>m1; cout<<"coloque el valor de Longitud2:"; cin>>m2; N2=-(vector[1]*m1)/((m1+m2)*sin(a)); normal1=N2*cos(a); N1=vector[1]+N2*sin(a); cout<<"la normal en el 1"<<normal1<<"N y en el punto de apoyo1" <<N1<<"N y el valor de la fuerza2 =" <<N2<<" \n"; system("pause"); eturn 0; }